科学を楽しむ木の遊び具・おもちゃ　【ちゆう工房】　・カタカタ人形バリエーション

　　　　　　　　　　　　　　　カタカタ人形バリエーション

「カタカタ人形」おもちゃの人形の形やや降り方を変えてみました。なぜ？どんなしくみで、カタカタ人形は降りていくのだろう。また、バリエーションのしくみはどうなっているのだろう。	n>

しくみ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図1 カタカタ人形(図1)は傾いたボードに左右1対のピン(木棒)が上下にに半ピッチずらして付けてあり、図のように人形の両腕をこのピン掛けると、人形は右下方向に滑り降ります。そして左側の腕がピンから外れると、人形は滑りながら右下のピンの周りを回転し、腕が水平になったところで逆向きに滑り降り、左側の腕は左下のピンに掛かります。こうして滑りと回転を繰り返し、ジグザグにカタカタと音をたてながら降りていくおもちゃです。製作した「カタカタ人形」は斜面であるボードに10mm厚のパイン集成材、ピンに6mmΦの南洋材丸棒、降りていく人形等には8mm厚のブナ材を使っています。ピンのタテの間隔は50mm、左右のピン列の間隔は50mmで、半ピッチずれたピンによる傾きθp0 は　tanθp0＝(ピンのタテの間隔/2)/ピン列の間隔＝1/2　から、θp0≒27°です。ボードの傾き(θb)は変えれるようになっています。ボードが傾くことでピンによる傾きの高さはsinθb倍になり、tanθp＝tanθp0sinθbの関係で、θp0はθpになります。例えば、θb＝70°ではθp＝25°、 θb＝30°ではθp＝14°になります。しくみを見るための人形は簡易なＴ字形としています。カタカタ人形の動きを動画のスローモーションで見てみると、腕が落ちて下のピンに当たるとき、跳ねて動きが乱れていることがわかります。またカタカタ降りるとき、動きに少しむらが見られます。これはピン間隔やボード、ピン、人形の接触面の滑らかさなど材料や加工むらなどよるものと思われます。ここでは単純に人形が斜めに滑り、ピンを軸に回転するものとしてその動きについてみてみます。 (1)人形の動き図2に示すように、人形の動きは次の2つの動きがピンの傾き方向を変えて繰り返えされます。　　　　　　　　　　図2　　1-1　　　　　　2-1　　　　 2－2　　　　　2-3　　　　　 2-4 　　　　　　　　　 ①直進運動人形は傾きを持つ左右の2つのピンをガイドとして、ボードの斜面を斜めに横切って滑り降ります(1-1)が、斜め下方に引く重力による傾き方向の成分とボードやピンによる摩擦力が働いて、一定の加速度で、斜めに直進します。自由落下に比べるとゆっくり落ちますが、ボードやピンによる傾きを小さくすれば、摩擦力がおおむね大きくなって人形は止まってしまうので、傾きには限度があります。人形とボード及びピンとの摩擦係数を測定したところ、ばらつきはあるもののボードとの静摩擦係数はμb＝0.37、動摩擦係数はμb'＝0.28、ピンとの摩擦係数はμp＝0.28、μp'＝0.25となりました。これを使い、傾きに沿って人形が斜めに滑りを起こす力とボードとピンによる摩擦力を計算してみたところ、ボードの傾きが70°の時、人形はピンに乗せると滑りだす(静摩擦でも滑る)、60°ではちょっと押すと滑り出す(動摩擦なら滑る)、50°では押しても滑らない(動摩擦でも滑らない)となりました。実際の人形の動きもほぼこのようになっています。 ②回転運動人形は1本のピンに掛かり、θpから－θpまで回転します。この回転運動では重力成分や摩擦力による力のモーメントによって回転が促され、ボードやピンによる摩擦力や人形の慣性モーメントにより回転が妨げられたり回転がしにくくなります。腕がピンを軸に回転するとき、ピンとの摩擦力によって、ピン周りに沿って滑らずに回る転がり回転やピン周りを滑って回る滑り回転になります。ピンとの摩擦力＞静摩擦係数×ピンの垂直抗力　の時は転がり回転となります。傾きがある程度以上になると摩擦係数との関係で滑りに回転が追い付かなくなって滑り回転となり、滑っているときの摩擦力は　動摩擦係数×ピンの垂直抗力　となります。ボードとの摩擦は回転摩擦となり、ホードの傾きを小さくしすぎると、回転しなくなります。上側のピンから腕が外れると、下側のピンを軸として滑り回転ですべります。この時、胴幅が小さく脇とピンとの間隔が大きいと、滑っても脇がピンに届かないことがあり、転がり回転になって動きが不安定になります。このため、このモデルでは下の脇から上の腕先までの長さを斜めのピン間隔より少しだけ短くしてあるので、すぐに下の脇がピンに当たります(2-1)。人形が水平(θp＝0)になるまではピンで押さえられているので斜めに滑り降りることはなく、一定の半径で滑り回転します(2-2)。人形の傾きが水平から－θpに変わると傾きが逆になります。傾きが小さいうちはちょっと滑りながら転がり回転をしますが、傾きが大きくなると滑り回転に変わり(2-3)、斜めに滑り降ります。これらの滑り降りた分によって、腕がピンに掛かる(2-4)ことになるわけです。カタカタ人形のボードの傾きは大体70°～80°なので、回転運動の多くは滑り回転しているものと思われます。《参考》　直進運動と回転運動で人形に働いている外力等を図3(側面図)、図4、図5、図6(正面図)に示します。　　　　図3　　　　　　　　　　　　　　　　　　図4 　　　　　　　　　　　　　図5　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図6 　　　　　　　ここに　 m :人形の質量　θb:ボードの傾き　θp:ボードの傾きを加味したピンの傾き　θ :人形(腕) の水平からの傾き(θ＝θp～－θp) 　 R :腕とピンの接触点と重心との距離　μb:人形とボードとの摩擦係数　μp:人形とピンとの摩擦係数回転運動をしているとき(θ＝θp～－θp)、人形の重心G(x,y)は、ピンの半径をr 、Y軸に対するR線の回転角をΦ、腕の下辺の中心から重心までの距離をHとすると x＝－(RsinΦ－rsinθ) y＝RcosΦ＋(r－rcosθ) Rcos(Φ－θ)＝H(一定) となります。 (2)人形の形状 ①寸法人形の各部の寸法としては、腕の長さ×2＋胴幅＞斜めのピン間隔＞腕の長さ＋胴幅＋S　とします。人形の腕がピンから外れて落ちた時、下のピンににかからないで外れてしまうことがよくあります。腕の長さ＋胴幅＋S が斜めのピン間隔より小さくないと腕が外れませんが、Sが大きすぎると、脇がピンに当たらずに回転して動きが不安定になり、下のピンから外れてしまいます。このため、このモデルではSを小さくしています。また、腕をＴ字でなく下辺をＹ字のように少し傾きを付けるものがあります。これは腕がピンに掛かって回転して落ちるとき、傾きが大きいので早く滑り回転になって、うまく下のピンに掛かるものと思われます。ただ反対側の腕は逆に傾きが大きくなって滑りにくくなるので、傾きをあまり大きくはできません。足先までの長さは、回転するとき下のピンに触れるものもありますが、このモデルでは触れない長さにしています。 ②形腕や胴の形を変えることで、ひと形でないバリエーションができ　　　　図7　ウデ長　細Ｔ字タイプます。ここでは腕が長く胴の細いタイプに加え、腕が短く胴の太いタイプにすることで形や動きに変化を付けています。図7、図8はこの2タイプの例です。ウデ短　太Ｔ字タイプは形もいろいろできますし、力のモーメントW×Lが大きく、回転する能力が大きくなることもあり、ボードの傾きを小さくしても滑り降りることができます。これ等が滑り落ちるボードの傾きを調べたところ、 θb＝30°～40°・・・・太Ｔ字、クレマチス θb＝40°～50°・・・・四角形、さくら、ヒコーキ、人形 θb＝50°～60°・・・・円形、三角形、ちょう、エックス　　　　　　　　図8　ウデ短　太Ｔ字タイプ θb＝60°～70°・・・・細Ｔ字、長四角形、イチョウとなり、おおむね太Ｔ字タイプが緩い傾きでも降りています。ヒコーキは細Ｔ字タイプのようですが、エンジン部が人形の脇に相当し、力のモーメントは大きくなります。形状によっていわゆる慣性モーメントが違ってきて、これが大きいとと回転しにくくなりますが、止まりにくくもなります。 ③重さ原理的には重くても軽くても、直進や回転の加速度は変わりません。重心は腕の下辺より下の方が安定するようですが、さくらやクレマチスのように腕の下辺より上のものあります。また、腕が落ちて下のピンに当たり跳ね返りますが、反発係数が同じ　　　　　　　図9 なら重さによらず、同じだけ跳ね返りることになります。図9は降り方に変化を持たせたものです。 H字形は2列のピンを1段おきに降りていきます。 N字形は1列ピンを「はしご下り」のように回転しながら降ります。スイング少女は1列ピンを体を大きく左右に揺らしながら降りていきます。どちらもピンから外れて、下のピンに掛かるタイミングが微妙で、ボードの傾きを調整する必要があります。参考和田純夫;力学のききどころ(岩波書店) 酒井高男;力学のおはなし(日本規格協会) 他
こぼれ話「カタカタ人形」は人形、ボード、ピンの形や寸法の取り方、そして材料も段ボール等も使っている例もあるように、自由に工夫して作れるのが魅力です。ただ、実際に作ってみると、うまく動かず、試行錯誤しながら、調整を繰り返して作っているのが実態と思われます。そこで、作るうえでのポイントといったことが分かればと思い、その動きを力学的に検討してみました。人形の動きは見た目にはシンプルで分かりやすいのですが、斜面上での並進運動と回転運動という思いのほか複雑な動きで、まだ解析はは不十分ですが、とりあえず現象的に説明してみました。誤解や見落としがあればご指摘いただければ幸いです。スロービデオで、下のピンに当たった腕の跳ね返りが、動きを大きく乱していることが分かりました。跳ね返りは素材の特性としての反発係数によるので、人形やピンの素材を代えてみたらと思っていますが、そうすると摩擦係数も変わってくると思われますので、これも要検討です。もう一つは、人形をひと形でなく、いろいろな形ができないかと考え、太Ｔ字タイプにすることで形のバリエーションが広がりました。「メロディーカタカタ」でもこのタイプいくつかを作っています。また、1列のピンで降りていくものも作ってみましたが、いずれも微妙な調整が必要なので、安定させることが課題です。

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「カタカタ人形」おもちゃの人形の形やや降り方を変えてみました。なぜ？どんなしくみで、カタカタ人形は降りていくのだろう。また、バリエーションのしくみはどうなっているのだろう。	n>

しくみ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図1 カタカタ人形(図1)は傾いたボードに左右1対のピン(木棒)が上下にに半ピッチずらして付けてあり、図のように人形の両腕をこのピン掛けると、人形は右下方向に滑り降ります。そして左側の腕がピンから外れると、人形は滑りながら右下のピンの周りを回転し、腕が水平になったところで逆向きに滑り降り、左側の腕は左下のピンに掛かります。こうして滑りと回転を繰り返し、ジグザグにカタカタと音をたてながら降りていくおもちゃです。製作した「カタカタ人形」は斜面であるボードに10mm厚のパイン集成材、ピンに6mmΦの南洋材丸棒、降りていく人形等には8mm厚のブナ材を使っています。ピンのタテの間隔は50mm、左右のピン列の間隔は50mmで、半ピッチずれたピンによる傾きθp0 は　tanθp0＝(ピンのタテの間隔/2)/ピン列の間隔＝1/2　から、θp0≒27°です。ボードの傾き(θb)は変えれるようになっています。ボードが傾くことでピンによる傾きの高さはsinθb倍になり、tanθp＝tanθp0sinθbの関係で、θp0はθpになります。例えば、θb＝70°ではθp＝25°、 θb＝30°ではθp＝14°になります。しくみを見るための人形は簡易なＴ字形としています。カタカタ人形の動きを動画のスローモーションで見てみると、腕が落ちて下のピンに当たるとき、跳ねて動きが乱れていることがわかります。またカタカタ降りるとき、動きに少しむらが見られます。これはピン間隔やボード、ピン、人形の接触面の滑らかさなど材料や加工むらなどよるものと思われます。ここでは単純に人形が斜めに滑り、ピンを軸に回転するものとしてその動きについてみてみます。 (1)人形の動き図2に示すように、人形の動きは次の2つの動きがピンの傾き方向を変えて繰り返えされます。　　　　　　　　　　図2　　1-1　　　　　　2-1　　　　 2－2　　　　　2-3　　　　　 2-4 　　　　　　　　　 ①直進運動人形は傾きを持つ左右の2つのピンをガイドとして、ボードの斜面を斜めに横切って滑り降ります(1-1)が、斜め下方に引く重力による傾き方向の成分とボードやピンによる摩擦力が働いて、一定の加速度で、斜めに直進します。自由落下に比べるとゆっくり落ちますが、ボードやピンによる傾きを小さくすれば、摩擦力がおおむね大きくなって人形は止まってしまうので、傾きには限度があります。人形とボード及びピンとの摩擦係数を測定したところ、ばらつきはあるもののボードとの静摩擦係数はμb＝0.37、動摩擦係数はμb'＝0.28、ピンとの摩擦係数はμp＝0.28、μp'＝0.25となりました。これを使い、傾きに沿って人形が斜めに滑りを起こす力とボードとピンによる摩擦力を計算してみたところ、ボードの傾きが70°の時、人形はピンに乗せると滑りだす(静摩擦でも滑る)、60°ではちょっと押すと滑り出す(動摩擦なら滑る)、50°では押しても滑らない(動摩擦でも滑らない)となりました。実際の人形の動きもほぼこのようになっています。 ②回転運動人形は1本のピンに掛かり、θpから－θpまで回転します。この回転運動では重力成分や摩擦力による力のモーメントによって回転が促され、ボードやピンによる摩擦力や人形の慣性モーメントにより回転が妨げられたり回転がしにくくなります。腕がピンを軸に回転するとき、ピンとの摩擦力によって、ピン周りに沿って滑らずに回る転がり回転やピン周りを滑って回る滑り回転になります。ピンとの摩擦力＞静摩擦係数×ピンの垂直抗力　の時は転がり回転となります。傾きがある程度以上になると摩擦係数との関係で滑りに回転が追い付かなくなって滑り回転となり、滑っているときの摩擦力は　動摩擦係数×ピンの垂直抗力　となります。ボードとの摩擦は回転摩擦となり、ホードの傾きを小さくしすぎると、回転しなくなります。上側のピンから腕が外れると、下側のピンを軸として滑り回転ですべります。この時、胴幅が小さく脇とピンとの間隔が大きいと、滑っても脇がピンに届かないことがあり、転がり回転になって動きが不安定になります。このため、このモデルでは下の脇から上の腕先までの長さを斜めのピン間隔より少しだけ短くしてあるので、すぐに下の脇がピンに当たります(2-1)。人形が水平(θp＝0)になるまではピンで押さえられているので斜めに滑り降りることはなく、一定の半径で滑り回転します(2-2)。人形の傾きが水平から－θpに変わると傾きが逆になります。傾きが小さいうちはちょっと滑りながら転がり回転をしますが、傾きが大きくなると滑り回転に変わり(2-3)、斜めに滑り降ります。これらの滑り降りた分によって、腕がピンに掛かる(2-4)ことになるわけです。カタカタ人形のボードの傾きは大体70°～80°なので、回転運動の多くは滑り回転しているものと思われます。《参考》　直進運動と回転運動で人形に働いている外力等を図3(側面図)、図4、図5、図6(正面図)に示します。　　　　図3　　　　　　　　　　　　　　　　　　図4 　　　　　　　　　　　　　図5　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図6 　　　　　　　ここに　 m :人形の質量　θb:ボードの傾き　θp:ボードの傾きを加味したピンの傾き　θ :人形(腕) の水平からの傾き(θ＝θp～－θp) 　 R :腕とピンの接触点と重心との距離　μb:人形とボードとの摩擦係数　μp:人形とピンとの摩擦係数回転運動をしているとき(θ＝θp～－θp)、人形の重心G(x,y)は、ピンの半径をr 、Y軸に対するR線の回転角をΦ、腕の下辺の中心から重心までの距離をHとすると x＝－(RsinΦ－rsinθ) y＝RcosΦ＋(r－rcosθ) Rcos(Φ－θ)＝H(一定) となります。 (2)人形の形状 ①寸法人形の各部の寸法としては、腕の長さ×2＋胴幅＞斜めのピン間隔＞腕の長さ＋胴幅＋S　とします。人形の腕がピンから外れて落ちた時、下のピンににかからないで外れてしまうことがよくあります。腕の長さ＋胴幅＋S が斜めのピン間隔より小さくないと腕が外れませんが、Sが大きすぎると、脇がピンに当たらずに回転して動きが不安定になり、下のピンから外れてしまいます。このため、このモデルではSを小さくしています。また、腕をＴ字でなく下辺をＹ字のように少し傾きを付けるものがあります。これは腕がピンに掛かって回転して落ちるとき、傾きが大きいので早く滑り回転になって、うまく下のピンに掛かるものと思われます。ただ反対側の腕は逆に傾きが大きくなって滑りにくくなるので、傾きをあまり大きくはできません。足先までの長さは、回転するとき下のピンに触れるものもありますが、このモデルでは触れない長さにしています。 ②形腕や胴の形を変えることで、ひと形でないバリエーションができ　　　　図7　ウデ長　細Ｔ字タイプます。ここでは腕が長く胴の細いタイプに加え、腕が短く胴の太いタイプにすることで形や動きに変化を付けています。図7、図8はこの2タイプの例です。ウデ短　太Ｔ字タイプは形もいろいろできますし、力のモーメントW×Lが大きく、回転する能力が大きくなることもあり、ボードの傾きを小さくしても滑り降りることができます。これ等が滑り落ちるボードの傾きを調べたところ、 θb＝30°～40°・・・・太Ｔ字、クレマチス θb＝40°～50°・・・・四角形、さくら、ヒコーキ、人形 θb＝50°～60°・・・・円形、三角形、ちょう、エックス　　　　　　　　図8　ウデ短　太Ｔ字タイプ θb＝60°～70°・・・・細Ｔ字、長四角形、イチョウとなり、おおむね太Ｔ字タイプが緩い傾きでも降りています。ヒコーキは細Ｔ字タイプのようですが、エンジン部が人形の脇に相当し、力のモーメントは大きくなります。形状によっていわゆる慣性モーメントが違ってきて、これが大きいとと回転しにくくなりますが、止まりにくくもなります。 ③重さ原理的には重くても軽くても、直進や回転の加速度は変わりません。重心は腕の下辺より下の方が安定するようですが、さくらやクレマチスのように腕の下辺より上のものあります。また、腕が落ちて下のピンに当たり跳ね返りますが、反発係数が同じ　　　　　　　図9 なら重さによらず、同じだけ跳ね返りることになります。図9は降り方に変化を持たせたものです。 H字形は2列のピンを1段おきに降りていきます。 N字形は1列ピンを「はしご下り」のように回転しながら降ります。スイング少女は1列ピンを体を大きく左右に揺らしながら降りていきます。どちらもピンから外れて、下のピンに掛かるタイミングが微妙で、ボードの傾きを調整する必要があります。参考和田純夫;力学のききどころ(岩波書店) 酒井高男;力学のおはなし(日本規格協会) 他
こぼれ話「カタカタ人形」は人形、ボード、ピンの形や寸法の取り方、そして材料も段ボール等も使っている例もあるように、自由に工夫して作れるのが魅力です。ただ、実際に作ってみると、うまく動かず、試行錯誤しながら、調整を繰り返して作っているのが実態と思われます。そこで、作るうえでのポイントといったことが分かればと思い、その動きを力学的に検討してみました。人形の動きは見た目にはシンプルで分かりやすいのですが、斜面上での並進運動と回転運動という思いのほか複雑な動きで、まだ解析はは不十分ですが、とりあえず現象的に説明してみました。誤解や見落としがあればご指摘いただければ幸いです。スロービデオで、下のピンに当たった腕の跳ね返りが、動きを大きく乱していることが分かりました。跳ね返りは素材の特性としての反発係数によるので、人形やピンの素材を代えてみたらと思っていますが、そうすると摩擦係数も変わってくると思われますので、これも要検討です。もう一つは、人形をひと形でなく、いろいろな形ができないかと考え、太Ｔ字タイプにすることで形のバリエーションが広がりました。「メロディーカタカタ」でもこのタイプいくつかを作っています。また、1列のピンで降りていくものも作ってみましたが、いずれも微妙な調整が必要なので、安定させることが課題です。